Читать онлайн «Что такое нестандартный анализ?»

В. А. УСПЕНСКИЙ ЧТО ТАКОЕ НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ? А. У 77 Что такое нестандартный анализ?— М. : Нау- Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. , 1987. — 128 с. 20 к. 27 500 экз. В последние два десятилетия вознин таи называемый не- нестандартный анализ. Предлагаемый им подход н обоснованию математического анализа базируется на допущении существова- существования, помимо обычных действительных чисел, «бесконечно боль- больших чисел» и «бесконечно малых чисел». Полное логическое обоснование втого подхода довольно сложж> и опирается на кон- конструкции математической логики. Цель книги — не давая полного обоснования, а лишь посту- постулируя необходимые факты, объяснить на доступных примерах, в чем суть нестандартного анализа. X. Розов Владимир Андреевич Успенский ЧТО ТАКОЕ НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ? Шень, В. В. Донченко Художественный редактор Г. Н. Колъченпо Технический редактор Е. В. Морозова Корректор И. Я. Кришталъ ИБ М 12208 Сдано в пабор 17. 07. 86. Подписано к печати 16. 01. 87. Формат 84X108/32. Бумага тип. № 2. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 6,72. Усл. кр. -отт. 6,93. Уч. -изд. л. 7,22. Тираж 27 500 экз. Заказ № 288. Цена 20 коп. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства «Наука» 630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25 ©Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ^ § 1. Несколько примеров 5 § 2. Что такое бесконечно малые? 8 § 3. Первое знакомство с пшердействителымй прямой 17 § 4 Пример неархимедовой числовой системы ... . 25 § 5. Новые требования к гипердействительным числам 30 § 6. Первые следствия 34 § 7. Ограниченность и пределы 41 § 8. Непрерывные функции и компактность 50 § 9. Построение системы гипердействителы:ых чисел . . 57. § 10. Нестандартный анализ и математическая логика . . 63 § И. «Нестандартный анализ» или «нестандартная матема- математика»? (Топологические примеры) 79 § 12. Лейбниц и «древняя история» нестандартного анализа 98 § 13. Робинсон и «новая история» нестандартного анализа Ю5 § 14. Существуют ли гипердействительные числа «на самом деле»? , 115 Добавление при корректуре 120 Приложение. «Нестандартное» построение степенного ряда {В. Г. Кановей) 121 Список литературы ... . . . 125 ПРЕДИСЛОВИЕ Слово «нестандартный» в названии этой книжки вызывает, ве- вероятно, естественную настороженность. Что это еще за «нестан- «нестандартный анализ»? Разве стандартный математический анализ, вер- верно служивший нашим учителям, перестал нас удовлетворять? Нужно ли отказываться от накопленного в течение трех столетий богатства ради сомнительных новаций?