Читать онлайн «Курс математического анализа»

Курс математического анализа: Учебник для вузов. — 6-е изд. , стереотип. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 592 с. — ISBN 5-9221-0160-9. Учебник для студентов физических и механико-математических спе- специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учеб- учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике. Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функ- функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции. Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математи- математике на получение звания бакалавра. Пятое издание — 2000 г. Рецензент член-корреспондент Академии педагогических наук РФ доктор физико-математичских наук профессор Г. Н. Яковлев. © ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001 © СМ. Никольский, 1975, 1983, 1990; ISBN 5-9221-0160-9 с изменениями 2000, 2001 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие q Глава 1. Введение 11 §1. 1. Вступление 11 § 1. 2. Множество. Интервал, отрезок 11 § 1. 3. Функция 14 § 1. 4. Понятие непрерывности функции 24 § 1. 5. Производная 27 § 1. 6. Первообразная. Неопределенный интеграл 33 § 1. 7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры 36 Глава 2. Действительное число 41 § 2. 1. Рациональные и иррациональные числа 41 § 2. 2. Определение неравенства 46 § 2. 3. Основная лемма. Определение арифметических действий 46 § 2. 4. Основные свойства действительных чисел 49 §2. 5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Физические величины 52 § 2. 6. Неравенства для абсолютных величин 54 § 2. 7. Точные верхняя и нижняя грани множества 55 § 2. 8. Символика математической логики 56 Глава 3. Предел последовательности 58 § 3. 1. Понятие предела последовательности 58 § 3. 2. Арифметические действия с пределами 62 § 3. 3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 64 §3. 4. Существование предела у монотонной ограниченной последо- последовательности 66 § 3. 5. Число е 68 §3. 6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества и сечения во множестве действительных чисел ... . 69 §3. 7. Теорема Больцано—Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы 71 § 3. 8. Критерий Коши существования предела 76 § 3. 9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чи- чисел. Несчетность множества действительных чисел 77 Глава 4. Предел функции 80 §4. 1. Понятие предела функции 80 § 4. 2. Непрерывность функции в точке 88 § 4. 3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция 94 Оглавление 4. 4. Функции, непрерывные на отрезке 98 4. 5. Обратная функция 101 4. 6. Показательная и логарифмическая функции 104 4. 7. Степенная функция х 109 4. 8. Еще о числе е ПО 4. 9. lim ^ 111 § 4. 10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика) 112 Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной 117 § 5. 1. Производная 117 § 5. 2. Дифференциал функции 121 § 5. 3. Производная функции от функции 124 § 5. 4.