Читать онлайн «Теория множеств и континуум-гипотеза»

SET THEORY AND THE CONTINUUM HYPOTHESIS PAUL J. COHEN Stanford University W. A. BENJAMIN, INC. NEW YORK 1966 AMSTERDAM Пол Дж. Коэн ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА Перевод с английского А. С. ЕСЕНИНА-ВОЛЬПИНА ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1969 УДК 519. 50 В книге излагается доказательство независимости гипотезы континуума от остальных аксиом теории мно- множеств — один из самых интересных и ярких результа- результатов, полученных в математике за последнее десятиле- десятилетне. Именно за этот результат ее автор, профессор Стаифордского университета П. Коэн, был удостоен ме- медали Филдса на последнем Международном конгрессе математиков (Москва, 1966). Книга, несомненно, заинтересует широкий круг ма- математиков, в первую очередь специалистов по теории множеств, математической логике и основаниям мате- математики. Она будет полезна преподавателям, аспиран- аспирантам н студентам старших курсов университетов и пед- пединститутов. Редакция литературы по вопросам математических наук Ияд. 2-2-3 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА В предлагаемой книге автор излагает свое замеча- замечательное открытие — доказательство независимости кон- тинуум-гипотезы, а также аксиомы выбора, для аксио- аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля (ZF). Этому, а также некоторым смежным, также очень инте- интересным результатам, посвящена последняя, четвертая глава этой книги. Но книга Коэна замечательна не только этим. Пер- Первые три главы этой книги сами по себе представляют замечательную монографию по основаниям теории мно- множеств (система ZF и равнонепротиворечивая с ней си- система ОВ Гёделя — Бернайса, обозначаемая в литера* туре также через 2). В третьей главе впервые подробно излагается первоначальное гёделевское доказательство относительной непротиворечивости аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы (притом прямо для ZF хотя и с использованием теоремы о равнонепротиворе- чивости из § 6, гл. II). Это первоначальное гёделевское доказательство по своей идее гораздо прозрачнее того, которое было впоследствии с большой полнотой изло- изложено Гёделем [14]. В конце третьей главы содержится также принадлежащий автору материал о минимальных моделях. Первая глава содержит общее введение в классиче- классическую математическую логику и теорию рекурсивных функций. Заслуживает внимания коэновский подход к доказательству второй теоремы Гёделя о неполноте — подход, по-видимому, гораздо проще поддающийся пол- в Предисловие переводчика ной формализации, чем это было сделано в книге Гиль- Гильберта и Бернайса (или, на русском языке, в добавле- добавлении I к [15]). Впрочем, многое из того, о чем говорится в § 7 — и особенно в § 8—11 —первой главы в дальней- дальнейших главах не используется, так что читатель, стремя- стремящийся понять прежде всего основные открытия автора о независимости, может эти параграфы опустить, а при наличии общего знакомства с математической логикой начать чтение прямо со второй главы. Но это чтение следует вести уже без пропусков. (Можно, однако, опустить конец § 6 из гл.