Читать онлайн «Функции действительного переменного»

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ Н. БУРБАКИ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО Е. II. С ТЕЧКИ НОЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1965 517. 2 В 91 УДК 517. 51 АННОТАЦИЯ Группа французских математиков, объеди- объединенная под псевдонимом «Бурбакн», поставила перед собой цель — написать под общим загла- заглавием «Элементы математики» полный трактат по современной математике. Многие выпуски этого трактата уже вышли во Франции, вызвав большой интерес математиков всего мира. Настоящая книга посвящена функциям од- одного действительного неременного. Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и пединститутов. //. Лурбаки Функции действительного переменного М. , 1965 г. , 424 стр. с илл. Редакторы И. А. Виноградова, С. А. Широкова Техн. редактор И. III. Аксельрод Корректор Т. С. Плетнева Сдано в набор 18/V 1965 г. Подписано к печати 13/IX 1965 г. Бумага 60x90Vi6- Физ. печ. л. 26,5. Условн. печ. л. 26,5. Уч. -изд. л. 22,18. Тираж 25000 экз. Цена книги 1 р. 79 к. Заказ Mi 1028. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Московская типография № 16 Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати. Москва, Трехпрудный пер. , д. 9. ОГЛАВЛЕНИЕ Рведспне 11 Глава I. Производные 14 § I. Первая производная 14 1. Производная вектор-функции 14 2. Линейность дифференцирования 17 3. Производная произведения 18 4. Производная обратной величины функции 22 5. Производная сложной функции 22 6. Производная обратной функции 23 7. Производные числовых функций 25 § 2. Теорема о конечных приращениях 30 1. Теорема Ролля 31 2. Теорема о конечных приращениях для числовых функций 31 3. Теорема о конечных приращениях для вектор-функций ... 35 4. Непрерывность производных 39 § 3. Производные высших порядков 44 1. Производные n-го порядка 44 2. Формула Тейлора 45 § 4. Выпуклые функции действительного переменного 54 1. Определение выпуклых функций 55 2. Семейства выпуклых функций 59 3. Непрерывность и днфференцнруемость выпуклых функций 59 4. Критерии выпуклости 62 Глава П. Примитивные и интегралы 70 § I. Примитивные и интегралы 70 1. Определение примитивных 70 2. Существование примитивных 71 3. Линейчатые функции 73 4. Интегралы 78 5. Свойства интегралов 82 6. Интегральная форма остаточного члена в формуле Тейлора; примитивные высших порядков 86 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Интегралы на некомпактных интервалах 93 1. Определение интеграла на некомпактном интервале ... . 93 2. Интегралы от положительных функций на некомпактном интервале 99 3. Абсолютно сходящиеся интегралы 101 § 3. Производные и интегралы функций, зависящих от параметра . . 105 1. Интеграл от предела функций на компактном интервале . . 105 2. Интеграл от предела функций на некомпактном интер- интервале 107 3. Нормально сходящиеся интегралы 112 4. Производная по параметру интеграла на компактном интер- интервале 113 5.