Читать онлайн «Алгебраическая геометрия для всех»

LONDON MATHEMATICAL SOCIETY STUDENT TEXTS. 12 Undergraduate Algebraic Geometry MILES REID, Mathematical Institute, University of Warwick CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS Cambridge New York New RocbeUe Melbourne Sydeey СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА ВВОДНЫЕ КУРСЫ М. РИД АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДЛЯ ВСЕХ Перевод с английского Б. 3. ШАПИРО МОСКВА «МИР» 1991 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому переводу 5 Предисловие 7 § 0. Неформальное введение 8 Почему же алгебраическая геометрия? Проблема выбора матери- материала; различные геометрические категории, необходимость привлече- привлечения коммутативной алгебры, частично определенная функция; репу- репутация автора. Необходимые предварительные сведения, взаимоотно- взаимоотношение курса с различными предметами, список рекомендуемых книг Гл. 1. Поиграем с плоскими кривыми 16 § 1. Плоские коники 16 Общее представление о IP2 и однородных координатах; соотноше- соотношение между А2 и IP2; параметризация. Каждая гладкая коника в IP2 изоморфна IP1. Простые случаи теоремы Безу: прямая пересекает кривую степени d в d точках, коника пересекает кривую степени d в Id точках. Линейная система коник, проходящих через точки Ри-. . ,Рп. § 2. Кубики и групповой закон 32 Кривая (у2 = х(х — 1)(х - X)) не может быть рационально пара- параметризована. Линейные системы Sd(Pi,... , Рп); пучок кубик, прохо- проходящих через 8 точек «в общем положении». Групповой закон на ку- кубике «Таинственная» гексаграмма Паскаля. Добавление к гл. 1. Кривые и их род 48 Топология неособых плоских комплексных кубик. Неформальное обсуждение рода кривой: топология, дифференциальная геометрия, модули, теория чисел, Морделл—Вейль—Фальтингс. Гл. 2. Категория аффинных многообразий 54 § 3. Аффинные многообразия и Nullstellensatz 54 Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе; соответствия V и /, неприводимые алгебраические множества, топология Зарисского, формулировка Nullstellensatz. Неприводимая гиперповерхность. Нор- Нормализация Нётер н доказательство Nullstellensatz; редукция к случаю гиперповерхности. §4. Функции на многообразиях 73 Координатное кольцо и полиномиальные отображения, морфиз- мы и изоморфизмы, аффинные многообразия. Поле рациональных функций и рациональные отображения, доминантные рациональные отображения и композиция рациональных отображений. Стандарт- Стандартные открытые множества. Закон сложения на эллиптической кривой является морфизмом. ОГЛАВЛЕНИЕ 149 Гл. 3. Приложения 88 § 5. Проективная и бирациональная геометрии 88 Мотивировка: существуют многообразия, не содержащиеся ни в каком аффинном многообразии. Однородные соответствия V я I. Проективное и аффинное Примеры: квадратичные поверхности, по- поверхность Веронезе. Бирациональная эквивалентность, рациональные многообразия. Каждое многообразие бирациональио эквивалентно гиперповерхности. Произведения. § 6. Касательное пространство и иеособость, размерность 102 Мотивировка: теорема о неявной функции, многообразия и глад- гладкие многообразия. Определение аффинного касательного простран- пространства.