Читать онлайн «Вычислительная линейная алгебра»

Μ' ВЬ Ш I УЧ . НЬХ ΑΒΔ Hl· ~1 . Μ В ржбиикий ыч л τ ль Л Η ~ АЯ АЛГ БРА ) = - 11 2 2 -1 -1 & 25- 0(- ) •У зН- (- ) s В. М. Вержбицкий Вычислительная линейная алгебра Лопушено УМО по образованию в области прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия аля стулентов высших учебных завелений, обучающихся по направлению полготовки 230400 «Приклалная математика» и специальности 230401 «Приклалная математика» й С%яГб$> Москва «Высшая школа» 2009 УДК 512 ББК 22. 143 В31 Рецензенты: кафедра информационных технологий в машиностроении Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева (зав. кафедрой - д-р физ. -мат. наук, проф. И. Х. Сайтов)] академик РАН, проф. A. M. Липанов (Институт прикладной механики УрО РАН) Вержбицкий В. М. В31 Вычислительная линейная алгебра: Учеб. пособие для вузов/ В. М. Вержбицкий. -М. : Высш. шк. , 2009. - 351 с: ил. ISBN 978-5-06-005829-1 Рассмотрены теория и практика получения треугольных, ортогональных и сингулярных разложений вещественных матриц. Показано, как эти разложения и лежащие в их основе преобразования используются для решения систем линейных алгебраических уравнений (в частности, плохо обусловленных и вырожденных), обращения и псевдообращения матриц, вычисления собственных и сингулярных значений, решения линейных задач о наименьших квадратах и некоторых других задач. Изложение материала сопровождается конкретными алгоритмами и числовыми примерами. Для студентов вузов, обучающихся по математическим и техническим направлениям, а также для всех, кому важно знание современных численных методов линейной алгебры. УДК 512 ББК 22. 143 ISBN 978-5-06-005829-1 €< ОАО «Издательство «Высшая школа», 2009 Оригинал-макет данного ивдания является собственностью издательства «Высшая школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запрещается ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 6 Глава 1. Разложения квадратных матриц 8 § 1. 1. Виды факторизации 8 § 1. 2. LU-разложение И §1. 3. UrU- и UrDU-разложения 17 § 1. 4. Преобразование Хаусхолдера и QR-разложение 23 § 1. 5. QR -разложение на основе преобразований Гивенса 35 Упражнения 43 Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений 45 §2. 1. Метод Гаусса (схема единственного деления) 45 § 2. 2. Решение СЛАУ и обращение матриц на основе LU-разложения 56 §2. 3. Решение симметричных СЛАУ 63 § 2. 4. Метод прогонки 65 §2. 5. Методы отражений и вращений 76 Упражнения 82 Глава 3. Итерационные методы решения СЛАУ 85 § 3. 1. Некоторые общие сведения об итерационных процессах 85 § 3. 2. Метод простых итераций 90 §3. 3. Методы Якоби, Зейделя и ПВР (SOR) 100 3 § 3. 4. О других подходах к построению итерационных методов 120 §3. 5. Итерационное обращение матриц 131 Упражнения 138 Глава 4. Задачи на собственные значения 142 § 4. 1. Собственные пары матриц и некоторые их свойства 142 § 4. 2. Степенной метод 151 § 4. 3. Метод обратных итераций и RQI-алгоритм 165 § 4. 4. Метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений 174 § 4. 5.