Читать онлайн «Московские математические олимпиады 1993-2005»

Р. М. Федоров А. Я. Канель-Белов А. К. Ковальджи И. В. Ященко МОСКОВСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ 1993—2005 г. Под редакцией В. М. Тихомирова Издание второе, исправленное и дополненное Москва Издательство МЦНМО 2008 УДК 51 ББК 74. 200. 58:22. 1 M82 Авторы: Р. М. Федоров, А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, И. В. Ященко Под редакцией В. М. Тихомирова Московские математические олимпиады 1993—2005 г. M82 / Р. М. Федоров и др. Под ред. В. М. Тихомирова. — 2-е изд. , испр. и доп. — М. : МЦНМО, 2008. — 464 с. ISBN 978-5-94057-409-5 В книге собраны задачи Московских математических олимпиад 1993— 2005 г. с ответами, указаниями и подробными решениями. В дополнениях приведены основные факты, используемые в решении олимпиадных задач, задачи ММО 2006—2008 г. и избранные задачи олимпиад 1937—1992 г. Все задачи в том или ином смысле нестандартные. Их решение требу- ет смекалки, сообразительности, а иногда и многочасовых размышлений. Книга предназначена для учителей математики, руководителей круж- ков, школьников старших классов, студентов педагогических специально- стей. Книга будет интересна всем любителям красивых математических задач. Первое издание книги вышло в 2006 г. Спасибо! ISBN 978-5-94057-409-5 © МЦНМО, 2006. ПРЕДИСЛОВИЕ Перед вами сборник задач Московских математических олимпиад с 1993 по 2005 год. Он содержит около трехсот задач с подробными решениями. Многие задачи снабжены указаниями (подсказками). Все задачи в том или ином смысле «нестандартны» — их решение требует смекалки, сообразительности, а часто и многочасового размышления. Некоторые из этих задач доступны большинству школь- ников, другие же столь сложны, что немногие обладатели высшего математического образования смогут их решить. С другой стороны, важная особенность олимпиадных задач состоит в том, что для их решения не требуется никаких знаний, выходящих за рамки школьной програм- мы. Конечно, это верно лишь в некотором приближении — такие «нешкольные» методы, как принцип математиче- ской индукции, уже давно не смущают составителей ва- риантов. Но если олимпиадные задачи не требуют специаль- ных знаний, то что же тогда отличает олимпиаду по математике от соревнования по разгадыванию голово- ломок? Наше убеждение состоит в том, что, в отличие от головоломок, хорошие математические задачи глубоко связаны с важными разделами современной математики, иллюстрируют основополагающие математические прин- ципы. Московская олимпиада всегда славилась такими связями — например, задачи 93. 8. 2 и 96. 11. 4 связаны с древним вопросом о представлении чисел суммами квадратов, а задача 99. 10. 5 связана с так называемыми сжимающими отображениями. Вот еще несколько задач, в которых эти связи наиболее заметны: 93. 10. 4, 95. 10. 6, 97. 11. 3, 99. 10. 5, 00. 10. 3, 01. 10. 5, 02. 11. 6, 03. 10. 6, 04. 9. 3, 04. 10. 3, 05. 8. 5, 05. 10. 6.