Читать онлайн «Начальный курс алгебраической топологии»

Автор Чес Косневски

Чес Коснёвски НАЧАЛЬНЫЙ КУРС АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ; Вводный курс алгебраической топологии, написанный англий-еким математиком. Изложение сопровождается большим количеством примеров и рисунков, дано около 350 упражнений для самостоятельной проработки. Для математиков различных специальностей, аспирантов и студентов, желающих познакомиться с основными понятиями алгебраической топологии. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода Предисловие Глава 0. Множества и группы Глава 1. Истоки; метрические пространства Глава 2. Топологические пространства Глава 3. Непрерывные функции Глава 4. Индуцированная топология Глава 5. Фактортопология (и группы, действующие на пространствах) Глава 6. Произведения пространств Глава 7. Компактные пространства Глава 8. Хаусдорфовы пространства Глава 9. Связные пространства Глава 10. Задачи о блинах Глава 11. Многообразия и поверхности Глава 12. Пути и линейно связные пространства Приложение к главе 12. Теорема Жор дана Глава 13. Гомотопия непрерывных отображений Глава 14. Умножение путей Глава 15. Фундаментальная группа Глава 16. Фундаментальная группа окружности Глава 17. Накрывающие пространства Глава 18. Фундаментальная группа накрывающего пространства Глава 19. Фундаментальная группа пространства орбит Глава 20. Теорема Борсука—У лама и теорема о сэндвиче с ветчиной Глава 21. Еще о накрывающих пространствах: теоремы о поднятии Глава 22. Еще о накрывающих пространствах: —теоремы существования Глава 23. Теорема Зейферта—ван Кампена. Шбразующие. Глава 24.
Теорема Зейферта—ван Кампена. П. Соотношения Глава 25. Теорема Зейферта—ван Кампена. Ш. Вычисления Глава 26. Фундаментальная группа поверхности Глава 27. Узлы. I. Предварительные сведения и торические узлы Глава 28. Узлы. П. Ручные узлы Приложение к гл. 28. Таблица узлов Глава 29. Сингулярные гомологии: введение Глава 30. Рекомендации для дальнейшего чтения Рекомендуемая литература Указатель УКАЗАТЕЛЬ 294 295 297 Абелева (коммутативная) группа 12 Аксиомы отделимости 64—65 Алгебраическая топология 150 Алфавит 203 Антидискретная топология 21 Антиподальные точки 80 Ассоциативность групповой операции 10 Бабушкин узел 260, 261 База накрытия 166 Биективная функция 9 Бинарная операция на множестве 10 Блоха и гребенка 115 БорсукК. 181 Барсука — У лама теорема 181 Ъраузра теорема о неподвижной точке 164, 289 Ван Кампен Э. 202 Вещественное проективное пространство 38 Взаимно однозначная функция 9 Внутренность множества 22 Восьмерка 218, 222 Выпуклое множество 113 Гейне — Бореля теорема 62 Гомеоморфизм 29 Гомеоморфные топологические пространства 29 Гомоморфизм групп 11 — надстройки 292 Гомотопическая группа 155 — эквивалентность 136 Гомотопический тип 136 Гомотопия 132 — относительно подмножества 133 Гомотопные отображения 132 Граница 274 Граничный оператор 274 График функции 53 Группа 10 — гомологии 276 — скольжений накрытия 192 — слов 203 — узла 244 Двойная точка узла 243, 253 Действие группы на множестве 47, 48 Декартово (прямое) произведение множеств 8 Деформационный ретракт 137 сильный 137 слабый 139 Дикий узел 253 Диск 84 Дискретная метрика 15 — топология 21 Евклидова (обычная) метрика 15 Единичный элемент группы 10 ЁнэямаК. 121 Жордан К. 122 Жордана теорема 122 Жорданова кривая 122 Жорданов многоугольник 122 Задачи о блинах 80, 82 Замкнутое множество в топологическом пространстве 23 — отображение 28 Замкнутый путь 147 Замыкание множества 24 Зейферт X. 202 Зейферта — вон Кампена теорема 202, 208, 209, 214, 218, 221, 222, 287 Изоморфизм групп 11 Индуцированная топология 31 Индуцированный гомоморфизм 150 групп гомологии 278 Интервалы 13, 77 Инъективная функция 9 Классификационная теорема для поверхностей 99 Класс эквивалентности 10 Классы эквивалентности слов 204 Клейна бутылка 42—44, 99, 107, 172—173 Коммутант 12 Коммутативная (абелева) группа 12 Коммутатор 12 Компактное множество 58 Компактно-открытая топология 63 Композиция функций 9 Компонента 120 Конечное покрытие 57 Конечно порожденная группа 12 Конус отображения 291 Копредставление группы 202, 204 Кратная точка узла 243, 253 Крендель 91, 99 Кривая 112 Кривые, заполняющие пространство 120 Лебега число покрытия 63 Лемма о склейке 113 Линейно связное пространство 113 Линзовое пространство 168 Локально компактное пространство 63 — линейно связное пространство 119,186 Манера — Въеториса последовательность 287 Мёбиуса лист (лента) 39, 100 Метризуемое топологическое пространство 21 Метрика 14 Метрическая (обычная) топология 20 Метрическое пространство 14 Многолистное накрытие 173 Многообразие 84 — с краем 111 Надстройка 291 Накрывающее отображение 166 — пространство 166 Накрытие 166 Незаузленный узел 239 Неориентируемая поверхность 101 Непрерывная функция 14 на метрическом пространстве 16 на топологическом пространстве 26 Непрерывное действие группы на топологическом пространстве 49—50 Неравенство треугольника 14 Несобственная двойная точка узла 243, 253 Нормальная подгруппа 11 Образ 8 Образующие группы 12, 205 Обратная функция 9 Обратный элемент в группе 10 Обычная (евклидова) метрика 15 — (метрическая) топология 20 Ограничение функции 9 Ограниченное множество в Rn 62 Односвязное топологическое пространство 153 Одноточечная компактификация 63 Озера Вады 121 Окрестность 25 Оператор призмы 279 Орбита 48 Ориентируемая поверхность 100 с краем 111 Основная теорема алгебры 163 Открытое множество в метрическом пространстве 16 в топологическом пространстве 20 — отображение 27 — покрытие 58 Относительная топология 31 Отношение на множестве 10 — эквивалентности 10 Отображение вычисления 63 — множеств 8 ПеаноДж. 120 Первая теорема об изоморфизме 11 Поверхности 97 Поверхность в краем 111 натянутая на узел 263—264 Подгруппа 10 — порожденная элементом 11 Поднятие 157 — отображения 169 Подпокрытие 57 Подпространство топологического пространства 31 Покрытие 57 Полулокально односвязное пространство 196 Польская окружность 190 Постоянная функция на топологическом пространстве 26 Правильно накрытое множество 166 Приведенная теория гомологии 290, 292 обобщенная в коэффициентами 293 Приведенный конус 291 Приклеивание листа Мёбиуса 100 — ручки 99 — цилиндра 99 Произведение путей 140 Прокоммутированная группа 235 Прообраз 9 Простая замкнутая кривая 107, 120, 173 — цепь 119 Простой узел 262 Пространство орбит 49 Прямая сумма групп 11 Прямое произведение групп 11 множеств 8 Пустое слово 203 Путь 112 Равномерно непрерывное отображение метрических пространств 124 Регулярное накрытие 177 Редуцированное слово 203 Ретракт 137 — слабый 138 Рефлексивность отношения 10 Род поверхности 101 — узла 265 Ручной узел 253 Свободная абелева группа ранга и 12 — группа, порожденная множеством символов 203 сп образующими 203 Свободное действие группы 88, 168 Свойство универсальности отображения произведений 54 факторпространств 39 Связная сумма поверхностей 97 узлов 262 Связное топологическое пространство 73 Связывающие гомоморфизмы 287 Сильный деформационный ретракт 137 Симметричность отношения 10 Сингулярная n-мерная цепь 272—273 Сингулярный п-мерный симплекс 272 Сквер-узел 260, 261 Скольжение накрытия 174 Слабый деформационный ретракт 139 — ретракт 138 Следствие (соотношений группы) 205 Слова 203 Смежные классы в группе 10 Собственно разрывное действие группы 167 Соотношения 205 Сохраняющий ориентацию гомеоморфизм 242 Стабилизатор 48 Стандартная неориентируемая поверхность рода т 101 — ориентируемая поверхность рода п 101 Стандартный п-мерный симплекс 272 Степень пути 161 Стереографическая проекция 85 Стинрод Н. 290 Стинрода — Эйленберга аксиомы 291—293 Строго эквивалентные узлы 242— 243 Структурная теорема для конечно порожденных абелевых групп 12 Стягиваемое пространство 136 Сюръективная функция 9 ТвербергХ. 122 Теорема о волосатом шаре 290 — о гомотопической инвариантности 279 — о монодромии 162 — о накрывающей гомотопии для путей 171 — о накрывающем пути 159 — о неподвижной точке 79 — о промежуточном значении 79 — о сэндвича а ветчиной 184 Титце преобразования 207 Тождественная функция на топологическом пространстве 26 Тождественное отображение множества 8 Топологическая группа 154 — инвариантность размерности 290 Топологическое отождествление 41 — произведение топологических пространств 52 — пространство 20 Топология 20 — конечных дополнений 21 Тор 42 Торический узел 247 Точная последовательность 287 Транзитивное действие группы 176 Транзитивность отношения 10 Тривиальная группа 10 Трилистник 242, 260 Уайтхеда теорема 156 Узел 239 Улам(}. 180 Универсальное накрытие 195 Факторгруппа 11 Фактортопология 38 Фундаментальная группа 147 бутылки Клейна 180, 223 восьмерки 219 линзового пространства 180, 213 листа Мёбиуса 180 одноточечного пространства 222 окружности 157, 222 поверхности 231 проективной плоскости 223— 227,231 в выброшенной точкой 220 проективного пространства 213 пространства орбт 178— 180 тора 163, 220—223, 231 G выброшенной точкой 220 Функтор 150, 279 Функция 8 Хаусдорфово пространство 64 ХопфХ. 155 Хорда 129 Центр группы 149 Цепно-гомотопные гомоморфизмы 279 Цикл 274 Циклическая группа 12 Шенфлиса теорема 241 ШрейерО. 251 Эйленберг С. 290 Эквивалентные накрытия 191 — пути 140 — узлы 242 Эквивариантное отображение 49 Ядро гомоморфизма 11 G-пространство 50 Н-пространство 155 Тк-пространство 65 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Предлагаемая вниманию читателя книга освещает в основном те разделы топологии, которые непосредст- непосредственно примыкают к понятию фундаментальной группы.