Читать онлайн «Введение в комплексный анализ»

Б. В. Шабат ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ В этой книге дается единое изложение основных понятий теории функций одного и нескольких комплексных переменных. Первая часть, посвященная функциям одного переменного, содержит материал обязательного университетского курса. Вторая часть посвящена функциям нескольких переменных и содержит материал основного спецкурса. В последние десятилетия интерес к теории функций нескольких комплексных переменных значительно возрос — это объясняется тем, что она имеет важные приложения и богатые связи с другими разделами математики. Первоначальное изучение этой теории обычно довольно затруднительно. Принятое в книге единое изложение значительно облегчает знакомство с ней. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Глава I. Голоморфные функции 13 § 1. Комплексная плоскость 13 1. Комплексные числа 13 2. Топология комплексной плоскости 17 3. Пути и кривые 20 4. Области 23 § 2. Функции комплексного переменного 26 5. Понятие функции 26 6. Дифференцируемость 31 7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация 36 § 3. Элементарные функции 42 8. Дробно-линейные функции 42 9. Геометрические свойства 47 10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы 50 11. Некоторые рациональные функции 54 12. Показательная функция 58 13. Тригонометрические функции 61 Задачи 65 Глава II. Свойства голоморфных функций 68 § 4. Интеграл 68 14. Понятие интеграла 68 15. Первообразная 72 16. Гомотопия. Теорема Коши 80 17. Обобщения теоремы Коши 86 18. Интегральная формула Коши 90 § 5. Ряды Тейлора 93  19. Ряды Тейлора 94 20. Свойства голоморфных функций 100 21. Теорема единственности 103 22.