Читать онлайн «Теория чисел»

З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы. — 1985. — 504 с. , 3-е изд. доп. Излагается ряд методов современной теории чисел. Изложение иллюстрируется рассмотрением большого - числа конкретных теоретико- числовых вопросов, относящихся главным образом к неопределенным уравнениям. Основное внимание уделено алгебраическим методам, но заметное место занимают также геометрический и аналитический методы. В третьем издании (второе вышло в 1972 г. ) нашли отражение некоторые наиболее существенные новые результаты последнего десятилетия, примыкающие к излагаемым в книге вопросам. Для студентов, аспирантов и научных работников, работающих в области алгебры и теории чисел. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Глава I. Сравнения 9 § 1. Сравнения по простому модулю 11 1. Суммы степеней вычетов (11). 2. Теоремы о числе решений сравнений (12). 3. Квадратичные формы по простому модулю (14). § 2. Тригонометрические суммы 16 1. Сравнения и тригонометрические суммы (16). 2. Суммы степеней (19). 3. Модуль гауссовой суммы (22). § 3. p-адические числа 25 1. Целые p-адические числа (25). 2. Кольцо целых p-адических чисел (28). 3. Дробные p-адические числа (31). 4. Сходимость в поле p- адических чисел (32). § 4. Аксиоматическая характеристика поля p-адических чисел 40 1. Метризованные поля (40). 2. Метрики поля рациональных чисел (45). § 5. Сравнения и целые p-адические числа 48 1. Сравнения и уравнения в кольце Zp (48). 2. О разрешимости некоторых сравнений (50). § 6. Квадратичные формы с p-адическими коэффициентами 58 1. Квадраты в поле p-адических чисел (58). 2. Представление нуля p- адическими квадратичными формами (59). 3. Бинарные формы (62). 4. Эквивалентность бинарных форм (66). 5. Замечания о формах высших степеней (68). § 7. Рациональные квадратичные формы 75 1. Теорема Минковского — Хассе (75). 2. Формы от трех переменных (77). 3. Формы от четырех переменных (83). 4. Формы от пяти и более переменных (85). 5. Рациональная эквивалентность (86). 6. Замечания о формах высших степеней (87). Глава II. Представление чисел разложимыми формами 91 § 1. Разложимые формы 92  1. Целочисленная эквивалентность форм (92). 2. Построение разложимых форм (94). 3. Модули (97). § 2. Полные модули и их кольца множителей 99 1. Базис модуля (99). 2. Кольца множителей (103). 3. Единицы (105). 4. Максимальный порядок (108). 5. Дискриминант полного модуля (110).