Читать онлайн «Категории для работающего математика»

Saunders Mac Lane CATEGORIES FOR THE WORKING MATHEMATICIAN Second Edition SPRINGER 1998 С. МАКЛЕИН КАТЕГОРИИ ДЛЯ РАБОТАЮЩЕГО МАТЕМАТИКА Перевод под редакцией В А. Артамонова МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2004 УДК 512. 58 Г Г Издание осуществлено при поддержке ББК 22. 144 :рс±Ь>:и Российского фонда фундаментальных у[ 25 * * исследований по проекту 02-01-Ц035д Маклейн С. Категории для работающего математика / Перевод с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. Книга написана выдающимся американским математиком С. Маклей- ном, одним из создателей теории категорий, рассматривающей свойства отображений (морфизмов) между объектами с определённой структурой. Овладение категорным языком и умение его использовать позволяет современному математику видеть и осознавать единство науки. Особое внимание в книге уделено понятиям сопряжённого функтора и моноидальной категории, которые находят разнообразные применения. Для широкого круга специалистов, интересующихся современными проблемами математики, включая студентов и аспирантов. Перевод осуществлён со второго издания книги. ISBN 5-9221-0400-4 (русск. ) © Springer, 1998 ISBN 0-387-98403-8 (англ. ) © ФИЗМАТЛИТ, 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 8 Предисловие ко второму изданию 9 Предисловие к первому изданию 9 Введение 12 Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования 17 1. 1. Аксиомы категорий 17 1. 2. Категории 20 1. 3. Функторы 23 1. 4. Естественные преобразования 27 1. 5. Мономорфизмы, эпиморфизмы и нулевые морфизмы 30 1. 6. Основания теории 33 1. 7. Большие категории 36 1. 8. Множества hom 39 Глава 2. Конструкции в категориях 43 2. 1. Двойственность 43 2. 2. Контравариантность и двойственные категории 45 2. 3. Произведения категорий 48 2. 4. Категории функторов 53 2. 5. Категория всех категорий 55 2. 6. Категории запятой 58 2. 7. Графы и свободные категории 61 2. 8. Фактор-категории 65 Глава 3. Универсальные конструкции и пределы 68 3. 1. Универсальные стрелки 68 3. 2. Лемма Ионеды 73 3. 3. Копроизведения и копределы 76 3. 4. Произведения и пределы 83 3. 5. Категории с конечными произведениями 88 3. 6. Группы в категориях 90 3. 7. Копределы представимых функторов 92 Глава 4. Сопряженные функторы 95 4. 1. Сопряжение 95 4. 2. Примеры сопряженных функторов 103 4. 3. Рефлективные подкатегории 107 4. 4. Эквивалентность категорий 110 4. 5. Сопряженные функторы в случае предпорядков 113 4. 6. Декартово замкнутые категории 115 4. 7. Преобразования сопряженных функторов 117 6 Оглавление 4. 8. Композиция сопряженных функторов 122 4. 9. Подмножества и характеристические функции 124 4. 10. Категории, похожие на Sets 126 Глава 5. Пределы 129 5. 1. Создание пределов 129 5. 2. Связь пределов с произведениями и уравнителями 133 5. 3. Пределы с параметрами 136 5. 4. Сохранение пределов 137 5. 5. Действие сопряженных функторов на пределы 140 5. 6. Теорема Фрейда о сопряженном функторе 142 5. 7. Подобъекты и порождающие семейства 148 5. 8. Специальная теорема о сопряженном функторе 152 5. 9.