Читать онлайн «Длина, площадь, объем»

Г. А. Мерзон, И. В. Ященко Длина Площадь Объём Электронное издание Издательство МЦНМО Москва, 2016 УДК 51(07) ББК 22. 1 М52 Мерзон Г. А. , Ященко И. В. Длина, площадь, объём Электронное издание М. : МЦНМО, 2016 48 с. ISBN 978-5-4439-2424-3 Шестая книжка серии «Школьные математические кружки» по- священа различным подходам к сравнению и вычислению площадей и объёмов и предназначена для занятий со школьниками 6{11 классов. В неё вошли разработки четырёх занятий математического кружка, в каждом из которых подробно разобраны задачи различной слож- ности и даны методические указания для учителя. Приведён так- же список дополнительных задач. В приложении имеются различные варианты раздаточного материала. Брошюра адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, сту- дентам педагогических вузов, а также всем любителям математики. Подготовлено на основе книги: Г. А. Мерзон, И. В. Ященко. Дли- на, площадь, объём. | 3-е изд. , стереотип. | М. : МЦНМО, 2015. | ISBN 978-5-4439-0335-4. Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер. , 11, тел. (499) 241{08{04. А. , Ященко И. В. , 2016. ISBN 978-5-4439-2424-3 © МЦНМО, 2016. Предисловие Брошюра посвящена ряду вопросов, связанных с вычислени- ями площадей и объёмов. Основной текст брошюры состоит из четырёх занятий. Чувство размерности | понимание того, как меняются те или иные числовые характеристики (объёмы и площади фигур и т. п. ) при пропорциональном изменении размеров, | желатель- но начать развивать до того, как ребенок научится вычислять их по известным заранее формулам, не задумываясь о сути происхо- дящего. Эту задачу и старается решить первая часть брошюры: в первом занятии обсуждается, как изменяются площади и объ- ёмы при масштабировании, во втором | то, как изменяется при масштабировании площадь поверхности, и вообще эффекты сочетания разных размерностей в одной задаче. Эти занятия рассчитаны на школьников 6{8 классов. Соображений размерности достаточно, чтобы понять, как за- висит, например, объём шара от его радиуса. Но для точного вычисления этого объёма таких соображений недостаточно. По- могает здесь идея послойного рассмотрения объёмной картин- ки | а точнее, принцип Кавальери. В третьем занятии мы знакомимся с принципом Кавальери для фигур, составленных из кубиков, когда он особенно нагляден. Вычисление объёмов таких фигур позволяет нам найти геометрически суммы 1+: : :+n и 1+ : : : + n2 . Это занятие (исключая самый конец) предназначено для школьников с 7 класса. В четвёртом занятии при помощи принципа Кавальери вы- числяются объёмы конуса и шара. В конце занятия приводятся вычисления площадей круга и сферы. Это занятие рассчитано на школьников начиная с 8{9 класса, но может быть использовано 3 и в 10{11 классе как дополнительный материал к курсу стерео- метрии.